ຈໍານວນທີ່ແທ້ຈິງແລະຄຸນສົມບັດຂອງພວກເຂົາ

Pythagoras ອ້າງວ່າຈໍານວນແມ່ນພື້ນຖານຂອງໂລກກ່ຽວກັບການ par ທີ່ມີອົງປະກອບທີ່ສໍາຄັນໄດ້. Plato ເຈົ້າເຊື່ອວ່າຈໍານວນຂອງລິ້ງຄ໌ປະກົດການແລະ noumenon ໄດ້, ການຊ່ວຍເຫຼືອທີ່ຈະຮູ້, ທີ່ຈະໄດ້ຮັບການຊັ່ງແລະແຕ້ມບົດສະຫຼຸບ. ເລກຄະນິດສາດມາຈາກຄໍາວ່າ "arifmos" - ຈໍານວນ, ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນໃນຄະນິດສາດ. ມັນເປັນໄປໄດ້ເພື່ອອະທິບາຍຈຸດປະສົງໃດໆ - ຈາກປະຖົມມີທີ່ຈອດລົດບໍ່ມີຕົວຕົນຈາກຫນາກແອບເປີ.

ຕ້ອງການເປັນປັດໄຈການພັດທະນາ

ໃນໄລຍະເບື້ອງຕົ້ນຂອງການພັດທະນາຂອງສັງຄົມ ຄວາມຕ້ອງການຂອງປະຊາຊົນ ຈໍາກັດດ້ວຍຄວາມຈໍາເປັນເພື່ອຮັກສາຄະແນນ - .. ຖົງຫນຶ່ງຂອງເມັດພືດ, ສອງຖົງເມັດພືດ, ແລະອື່ນໆເພື່ອເຮັດແນວໃດນີ້, ມັນໄດ້ຈໍານວນທໍາມະຊາດ, ທີ່ກໍານົດໄວ້ຂອງທີ່ເປັນລໍາດັບອັນເປັນນິດຂອງຈໍານວນເຕັມບວກ N.

ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ການພັດທະນາຂອງຄະນິດສາດເປັນວິທະຍາສາດ, ມັນແມ່ນມີຄວາມຈໍາເປັນໃນຂະແຫນງການສະເພາະໃດຫນຶ່ງຂອງຈໍານວນເຕັມ Z - ມັນປະກອບດ້ວຍຄ່າລົບແລະສູນ. ຮູບລັກສະນະຂອງພຣະອົງຢູ່ໃນລະດັບພາຍໃນປະເທດ, ໄດ້ມີການກະຕຸ້ນໂດຍຄວາມຈິງທີ່ວ່າບັນຊີໃນເບື້ອງຕົ້ນໄດ້ມີການ somehow ແກ້ໄຂຫນີ້ສິນທີ່ແລະການສູນເສຍ. ໃນລະດັບວິທະຍາສາດ, ຈໍານວນລົບໄດ້ເຮັດໃຫ້ມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະແກ້ໄຂງ່າຍດາຍ ມະການເຊີງເສັ້ນ. ໃນບັນດາສິ່ງອື່ນໆ, ມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະຮູບພາບທີ່ trivial ປະສານງານລະບົບ, ເຊັ່ນ:. A. ມີຈຸດຂອງກະສານອ້າງອີງໄດ້.

ຂັ້ນຕອນຕໍ່ໄປແມ່ນຕ້ອງການທີ່ຈະເຂົ້າໄປຈໍານວນແຕ່ສ່ວນຫນຶ່ງ, ນັບຕັ້ງແຕ່ວິທະຍາສາດບໍ່ໄດ້ຢືນຍັງ, ແລະເພີ່ມເຕີມການຄົ້ນພົບໃຫມ່ຕ້ອງບົນພື້ນຖານທິດສະດີສໍາລັບການຂະຫຍາຍຕົວຊຸກຍູ້ໃຫມ່. ດັ່ງນັ້ນບໍ່ມີພາກສະຫນາມເປັນ ຂອງຈໍານວນສົມເຫດສົມຜົນ Q.

ສຸດທ້າຍ, ບໍ່ມີຕໍ່ໄປອີກແລ້ວຕອບສະຫນອງຄວາມຕ້ອງການຂອງສົມເຫດສົມຜົນ, ເນື່ອງຈາກວ່າສິ່ງທີ່ຄົ້ນພົບໃຫມ່ທັງຫມົດຮຽກຮ້ອງໃຫ້ມີເຫດຜົນ. ມີພາກສະຫນາມຂອງຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງ R ເຄື່ອງທາງດ້ານ, ບໍ່ສົມ Euclid ຂອງສະເພາະໃດຫນຶ່ງປະລິມານເນື່ອງຈາກວ່າບໍ່ມີເຫດຜົນຂອງເຂົາເຈົ້າໄດ້ໄດ້. ຫມາຍຄວາມວ່າ, ນັກຄະນິດສາດກເຣັກວັດຖຸບູຮານ ໃນຕໍາແຫນ່ງຈໍານວນບໍ່ພຽງແຕ່ເປັນຄົງທີ່ແມ່ນແຕ່ເປັນມູນຄ່າບໍ່ມີຕົວຕົນເຊິ່ງແມ່ນສະໂດຍອັດຕາສ່ວນຂອງ magnitudes, ບໍ່ສົມໄດ້. ເນື່ອງຈາກຄວາມຈິງທີ່ວ່າມີຈໍານວນທີ່ແທ້ຈິງ, "ພວກເຮົາໄດ້ເຫັນແສງສະຫວ່າງ" ຄ່າເຊັ່ນ: "pi" ແລະ "e", ໂດຍບໍ່ມີການທີ່ຄະນິດສາດທີ່ທັນສະໄຫມສາມາດບໍ່ໄດ້ປະຕິບັດສະຖານທີ່.

ການປະດິດສ້າງຂັ້ນສຸດທ້າຍແມ່ນ ເປັນຈໍານວນສະລັບສັບຊ້ອນ C. ມັນຕອບຊຸດຂອງຄໍາຖາມແລະ refuted postulates ເຂົ້າໃນເມື່ອກ່ອນ. ເນື່ອງຈາກການພັດທະນາຢ່າງວ່ອງໄວຂອງຜົນພຶດຊະຄະນິດແມ່ນຄາດຫມາຍໄວ້ - ກັບຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງ, ການຕັດສິນໃຈຂອງບັນຫາຈໍານວນຫຼາຍແມ່ນບໍ່ເປັນໄປໄດ້. ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, ຂອບໃຈກັບຈໍານວນສະລັບສັບຊ້ອນໄດ້ຢືນຢູ່ອອກທິດສະດີສະຕິງແລະສະມະການຄວາມວຸ່ນວາຍຂະຫຍາຍຂອງ hydrodynamics.

ກໍານົດທິດສະດີ. ຕົ້ນສຽງ

ແນວຄວາມຄິດຂອງອິນຟິນິຕີ້ໄດ້ເກີດມາຈາກສະເຫມີການໂຕ້ແຍ້ງ, ຍ້ອນວ່າມັນເປັນໄປບໍ່ໄດ້ທີ່ຈະພິສູດຫຼື disprove. ໃນສະພາບການຂອງຄະນິດສາດໄດ້, ເຊິ່ງດໍາເນີນການ postulates ຢັ້ງຢືນຢ່າງເຂັ້ມງວດ, ມັນສະແດງອອກຕົວມັນເອງຫຼາຍທີ່ສຸດແນ່ນອນ, ຫຼາຍວ່າລັກສະນະ theological ຍັງຊັ່ງຢູ່ໃນວິທະຍາສາດ.

ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ໂດຍຜ່ານການເຮັດວຽກຂອງຄະນິດສາດ Georg Cantor ເວລາທັງຫມົດໄດ້ຫຼຸດລົງເຂົ້າໄປໃນສະຖານທີ່. ເຂົາພິສູດວ່າຊຸດ infinite ມີເປັນຊຸດທີ່ສິ້ນສຸດ, ແລະວ່າພາກສະຫນາມ R ແມ່ນຫຼາຍກ່ວາພາກສະຫນາມ N, ໃຫ້ທັງສອງຂອງພວກເຂົາແລະບໍ່ມີທີ່ສຸດ. ຢູ່ເຄິ່ງກາງຂອງສະຕະວັດທີ XIX ໄດ້, ຄວາມຄິດຂອງເຂົາເອີ້ນວ່າສາທາລະນະ nonsense ແລະອາຊະຍາກໍາຕ້ານ canons immutable ຄລາສສິກໄດ້, ແຕ່ທີ່ໃຊ້ເວລາຈະເຮັດໃຫ້ທຸກສິ່ງທຸກຢ່າງໃນສະຖານທີ່ຂອງຕົນ.

ຄຸນສົມບັດພື້ນຖານຂອງພາກສະຫນາມ R

ຈໍານວນຕົວຈິງບໍ່ໄດ້ມີພຽງແຕ່ຄຸນສົມບັດເຊັ່ນດຽວກັນກັບ podmozhestva ທີ່ພວກເຂົາເຈົ້າປະກອບມີ, ແຕ່ແມ່ນ supplemented ໂດຍ masshabnosti ອື່ນໆໂດຍອາໄສອໍານາດຂອງອົງປະກອບຂອງຕົນ:

• Zero R. ຢູ່ແລະເປັນພາກສະຫນາມ c + = c 0 c ຂອງ R. ໃດ
• Zero ຢູ່ແລະເປັນພາກສະຫນາມ R. c x 0 = 0 for c ຂອງ R. ໃດ
• ອັດຕາສ່ວນ c: d ເມື່ອ d ≠ 0 ແລ້ວແລະແມ່ນຖືກຕ້ອງສໍາລັບ c ໃດ, d ຂອງ R.
• ພາກສະຫນາມ R ສັ່ງ, i.e. ຖ້າ c ≤ d, d ≤ c, ຫຼັງຈາກນັ້ນ c = d ສໍາລັບ c ໃດ, d ຂອງ R.
• ນອກຈາກນັ້ນໃນພາກສະຫນາມ R ແມ່ນ commutative, i.e. c + d = d + c, ສໍາລັບ c ໃດ, d ຂອງ R.
• ແບບທະວີຄູນໃນພາກສະຫນາມ R ແມ່ນ commutative, i.e. x c x d = d c ສໍາລັບທຸກ c, d ຂອງ R.
• ນອກຈາກນັ້ນໃນພາກສະຫນາມ R ແມ່ນຄວາມເຊື່ອມໂຍງ i.e. (c + d) + f = c + (d + f) ສໍາລັບ c ໃດ, d, f ຂອງ R.
• ແບບທະວີຄູນໃນພາກສະຫນາມ R ແມ່ນຄວາມເຊື່ອມໂຍງ i.e. (c x d) x f = c x (d x f) ສໍາລັບ c ໃດ, d, f ຂອງ R.
• ສໍາລັບຈໍານວນແຕ່ລະພາກສະຫນາມ R ກົງກັນຂ້າມກັບມັນບໍ່ມີ, ເຊັ່ນວ່າ c + (-c) = 0, ບ່ອນທີ່ c, -c ຈາກ R.
• ສໍາລັບຈໍານວນຂອງພາກສະຫນາມ R ແຕ່ຢູ່ກັນຂອງຕົນ, ເຊັ່ນວ່າ c x c ^-1 = 1 ທີ່ c, c ^-1 ຂອງ R.
• ຫນ່ວຍບໍລິການຢູ່ແລະເປັນ R, ສະນັ້ນວ່າ c x 1 = c, ສໍາລັບ c ຂອງ R. ໃດ
• ມັນມີການກະຈາຍອໍານາດກົດຫມາຍ, ດັ່ງນັ້ນ c x (d + f) = c x d + c x f, ສໍາລັບ c ໃດ, d, f ຂອງ R.
• ພາກສະຫນາມ R ແມ່ນສູນບໍ່ແມ່ນເທົ່າທຽມກັນກັບຄວາມສາມັກຄີ.
• ພາກສະຫນາມ R ແມ່ນການຜ່ານແດນ: ຖ້າ c ≤ d, d ≤ f, ຫຼັງຈາກນັ້ນ c ≤ f ສໍາລັບ c ໃດ, d, f ຂອງ R.
• ໃນ R ແລະນອກຈາກນັ້ນຄໍາສັ່ງນັ້ນກ່ຽວພັນກັນ: ຖ້າຫາກວ່າ c ≤ d, ຫຼັງຈາກນັ້ນ c + f ≤ d + f ສໍາລັບ c ທັງຫມົດ, d, f ຂອງ R.
• ໃນຄໍາສັ່ງຂອງ R ແລະຄູນເຊື່ອມຕໍ່: ຖ້າ 0 ≤ c, 0 ≤ d, ຫຼັງຈາກນັ້ນ 0 ≤ c x d ສໍາລັບ c ໃດ, d ຂອງ R.
• ໃນຖານະເປັນຈໍານວນທີ່ແທ້ຈິງໃນທາງລົບແລະບວກມີຢ່າງຕໍ່ເນື່ອງ, i.e. , ສໍາລັບ c ໃດ, d ຂອງ R f, ມີຢູ່ຈາກ R, ທີ່ c ≤ f ≤ d.

ພາກສະຫນາມໂມດູນ R

ຈໍານວນທີ່ແທ້ຈິງປະກອບມີສິ່ງດັ່ງກ່າວເປັນໂມດູນໄດ້. ກໍານົດມັນເປັນ | f | ສໍາລັບ f ໃນ R. | f | = F, ຖ້າ 0 ≤ f ແລະ | f | = -f ຖ້າ 0> f. ຖ້າຫາກວ່າພວກເຮົາພິຈາລະນາອຸປະກອນນະເປັນຄ່າເລຂາຄະນິດມັນເປັນໄລຍະທາງເປັນ - ມັນບໍ່ສໍາຄັນ, "ຜ່ານ" ທ່ານເປັນສູນໃນທາງລົບທີ່ຈະໃນທາງບວກຫຼືຕໍ່.

ຈໍານວນສະລັບສັບຊ້ອນແລະທີ່ແທ້ຈິງ. ສິ່ງທີ່ມີຄວາມຄ້າຍຄືກັນແລະຄວາມແຕກຕ່າງ?

ໂດຍແລະຂະຫນາດໃຫຍ່ຈໍານວນ, ສະລັບສັບຊ້ອນແລະທີ່ແທ້ຈິງ - ພວກເຂົາເຈົ້າແມ່ນຫນຶ່ງໃນແລະດຽວກັນ, ເວັ້ນເສຍແຕ່ວ່າຄົນທໍາອິດໄດ້ເຂົ້າຮ່ວມຫນ່ວຍບໍລິການຈິນຕະນາການຂ້າພະເຈົ້າ, ຮຽບຮ້ອຍຂອງຊຶ່ງຈະເທົ່າກັບ -1. ອົງປະກອບ fields R ແລະ C ສາມາດໄດ້ຮັບການເປັນຕົວແທນໂດຍການສູດດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

• c = d + f x i, wherein d, f ຂຶ້ນກັບພາກສະຫນາມ R, ແລະຂ້າພະເຈົ້າ - ຫນ່ວຍບໍລິການຈິນຕະນາການ.

ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບ c ຂອງ R f ໃນກໍລະນີນີ້ພຽງແຕ່ assumed to be ສູນ, ie, ມີພຽງແຕ່ພາກສ່ວນທີ່ແທ້ຈິງຂອງຈໍານວນ. ເນື່ອງຈາກວ່າພາກສະຫນາມຂອງຕົວເລກສະລັບສັບຊ້ອນທີ່ມີຄຸນນະສົມບັດດຽວກັນໄດ້ຈັດໄວ້ເປັນພາກສະຫນາມຂອງທີ່ແທ້ຈິງໄດ້, f x i = 0 ຖ້າ f = 0.

ດ້ວຍຄວາມນັບຖືຄວາມແຕກຕ່າງການປະຕິບັດ, ສໍາລັບການຍົກຕົວຢ່າງໃນພາກສະຫນາມ R ສົມຜົນ quadratic ບໍ່ສາມາດໄດ້ຮັບການແກ້ໄຂຖ້າຫາກວ່າຈໍາແນກອອກລົບ, ໃນຂະນະທີ່ C ຫ້ອງດັ່ງກ່າວບໍ່ໄດ້ບັງຄັບໃຊ້ຂໍ້ຈໍາກັດນີ້ໂດຍການສະເຫນີຫນ່ວຍຈິນຕະນາການຂ້າພະເຈົ້າ.

ຜົນການຄົ້ນຫາ

"Bricks" ຂອງ axioms ແລະ postulates ທີ່ກັບຄະນິດສາດພື້ນຖານ, ບໍ່ມີການປ່ຽນແປງ. ໃນບາງສ່ວນຂອງພວກເຂົາເນື່ອງຈາກການເພີ່ມຂຶ້ນຂອງຂໍ້ມູນແລະການນໍາສະເຫນີທິດສະດີໃຫມ່ທີ່ຕັ້ງໄວ້ດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້ "bricks", ເຊິ່ງໃນອະນາຄົດອາດຈະກາຍເປັນພື້ນຖານສໍາລັບການຂັ້ນຕອນຕໍ່ໄປໄດ້. ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, ຈໍານວນທໍາມະຊາດ, ເຖິງວ່າຈະມີຄວາມຈິງທີ່ວ່າພວກເຂົາເຈົ້າແມ່ນເປັນກຸ່ມພາຍໃນພາກສະຫນາມ R ທີ່ແທ້ຈິງ, ບໍ່ໄດ້ສູນເສຍຄວາມເຫມາະສົມຂອງຕົນ. ມັນແມ່ນເພື່ອໃຫ້ເຂົາເຈົ້າບົນພື້ນຖານຂອງການກ່ຽວກັບເລກປະຖົມທັງຫມົດ, ຊຶ່ງຈະເລີ່ມຕົ້ນກັບຄວາມຮູ້ຂອງຜູ້ຊາຍຂອງສັນຕິພາບໄດ້.

ຈາກຈຸດປະຕິບັດຂອງທັດສະນະ, ຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງເບິ່ງຄືເສັ້ນຊື່ໄດ້. ມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະເລືອກເອົາທິດທາງ, ເພື່ອກໍານົດຕົ້ນກໍາເນີດແລະ pitch. Direct ປະກອບດ້ວຍຈໍານວນ infinite ຂອງຈຸດ, ແຕ່ລະຊຶ່ງເທົ່າກັບຈໍານວນທີ່ແທ້ຈິງດຽວ, ບໍ່ຄໍານຶງເຖິງວ່າຈະເປັນຫຼືບໍ່ສົມເຫດສົມຜົນ. ຈາກຄໍາອະທິບາຍວ່າມັນເປັນທີ່ຈະແຈ້ງວ່າພວກເຮົາກໍາລັງລົມກັນກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດ, ຊຶ່ງແມ່ນອີງຄະນິດສາດໂດຍທົ່ວໄປ, ແລະ ການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດ ໂດຍສະເພາະ.