ການເຊື່ອມຕໍ່ທີ່ບໍ່ຈໍາກັດ. ການຄິດໄລ່ຂອງ integrals indefinite

ຫນຶ່ງໃນສາຂາພື້ນຖານຂອງການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດແມ່ນສົມຜົນສົມເຫດສົມຜົນ. ມັນກວມເອົາພາກສະຫນາມທີ່ໃຫຍ່ທີ່ສຸດຂອງວັດຖຸ, ບ່ອນທີ່ທໍາອິດແມ່ນເປັນທີ່ບໍ່ຄົບຖ້ວນ. ໃນຖານະເປັນຕໍາແຫນ່ງທີ່ສໍາຄັນ, ເຖິງແມ່ນວ່າຢູ່ໃນໂຮງຮຽນສູງສະແດງໃຫ້ເຫັນເຖິງຈໍານວນເພີ່ມຂຶ້ນຂອງຄວາມສົດໃສດ້ານແລະໂອກາດ, ເຊິ່ງໄດ້ຖືກອະທິບາຍໂດຍຄະນິດສາດທີ່ສູງຂຶ້ນ.

ຮູບລັກສະນະ

ຢູ່ glance ທໍາອິດ, ສົມບູນເບິ່ງຄືວ່າທັງຫມົດທີ່ທັນສະໄຫມ, ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ, ແຕ່ວ່າໃນການປະຕິບັດມັນ turns ອອກວ່າມັນໄດ້ປາກົດວ່າໃນ 1800 BC. ບ້ານເຮືອນຖືວ່າເປັນປະເທດເອຢິບຢ່າງເປັນທາງການ, ເພາະວ່າພວກເຮົາບໍ່ໄດ້ຮັບຫຼັກຖານກ່ອນຫນ້ານີ້. ລາວ, ເນື່ອງຈາກວ່າການຂາດຂໍ້ມູນ, ທັງຫມົດນີ້ໃຊ້ເວລາພຽງແຕ່ເປັນປະກົດການ. ລາວໄດ້ຢືນຢັນອີກເທື່ອຫນຶ່ງກ່ຽວກັບລະດັບການພັດທະນາວິທະຍາສາດລະຫວ່າງບັນດາປະຊາຊົນໃນເວລານັ້ນ. ສຸດທ້າຍ, ວຽກງານຂອງ mathematicians ກເຣັກວັດຖຸບູຮານ dating ກັບສະຕະວັດທີ 4 BC ໄດ້ຖືກພົບເຫັນ. ພວກເຂົາເຈົ້າໄດ້ອະທິບາຍວິທີການທີ່ມີການປະສົມປະສານບໍ່ຈໍາກັດ, ຊຶ່ງເປັນສິ່ງສໍາຄັນທີ່ຈະຊອກຫາປະລິມານຫຼືພື້ນທີ່ຂອງຮູບ curvilinear (ແຜນສາມມິຕິແລະສອງມິຕິ, ຕາມລໍາດັບ). ຫຼັກການຂອງການຄິດໄລ່ແມ່ນອີງໃສ່ການແບ່ງປັນຕົວເລກຕົ້ນສະບັບໃນອົງປະກອບ infinitesimal, ໃຫ້ວ່າລະດັບສຽງ (ພື້ນທີ່) ຂອງພວກເຂົາແມ່ນເປັນທີ່ຮູ້ຈັກແລ້ວ. ໃນໄລຍະເວລາ, ວິທີການຂະຫຍາຍຕົວ, Archimedes ນໍາໃຊ້ມັນເພື່ອຊອກຫາເຂດພື້ນທີ່ຂອງ parabola ໄດ້. ການຄິດໄລ່ແບບດຽວກັນໃນເວລາດຽວກັນໄດ້ຖືກປະຕິບັດໂດຍນັກວິທະຍາສາດໃນປະເທດຈີນໂບຮານ, ຍິ່ງໄປກວ່ານັ້ນພວກເຂົາແມ່ນເອກະລາດຢ່າງສົມບູນຂອງອ້າຍກເຣັກໃນວິທະຍາສາດ.

ການພັດທະນາ

ຄວາມກ້າວຫນ້າຕໍ່ໄປໃນຊຸມສະຕະວັດທີ 11 ຜ່ານມາແມ່ນການເຮັດວຽກຂອງຊາວອາຣາເບຍ "ສາກົນ" Abu Ali al-Basri, ເຊິ່ງໄດ້ຂະຫຍາຍຂອບເຂດຂອງສິ່ງທີ່ຮູ້ຈັກແລ້ວໂດຍການຄິດໄລ່ໂດຍອີງໃສ່ຄໍາສັບທີ່ສົມບູນແບບສໍາລັບການຄິດໄລ່ສົມຜົນຂອງຊຸດແລະຜົນຂອງອໍານາດຈາກຄັ້ງທໍາອິດກັບສີ່, ວິທີການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດ.
ຈິດໃຈທີ່ທັນສະໄຫມຍ້ອງຍໍວ່າຊາວອີຢີບບູຮານສ້າງສະຖາປັດຍະກໍາທີ່ຫນ້າປະຫລາດໃຈໂດຍບໍ່ມີການປັບປ່ຽນພິເສດໃດໆ, ເວັ້ນເສຍແຕ່ບາງທີອາດມີມືຂອງຕົນເອງ, ແຕ່ບໍ່ແມ່ນຜົນບັງຄັບໃຊ້ຂອງຈິດໃຈຂອງນັກວິທະຍາສາດໃນເວລານັ້ນ. ເມື່ອປຽບທຽບກັບເວລາປະຈຸບັນ, ຊີວິດຂອງພວກເຂົາເບິ່ງຄືວ່າເປັນທໍາມະຊາດ, ແຕ່ວ່າການແກ້ໄຂຂອງການເຊື່ອມໂຍງບໍ່ຈໍາກັດແມ່ນໄດ້ມາຢູ່ທຸກບ່ອນແລະຖືກນໍາໃຊ້ໃນການປະຕິບັດເພື່ອການພັດທະນາຕໍ່ໄປ.

ຂັ້ນຕອນຕໍ່ໄປໄດ້ເກີດຂື້ນໃນສະຕະວັດທີ 16, ເມື່ອນັກຄະນິດສາດອິຕາລີ Cavalieri ໄດ້ພິສູດວິທີການທີ່ບໍ່ສາມາດແບ່ງແຍກໄດ້, ຊຶ່ງໄດ້ຖືກເກັບໂດຍ Pierre Fermat. ມັນແມ່ນທັງສອງຄົນເຫຼົ່ານີ້ທີ່ວາງພື້ນຖານສໍາລັບການຄິດໄລ່ທີ່ທັນສະໄຫມທີ່ຮູ້ຈັກໃນປັດຈຸບັນ. ພວກເຂົາເຊື່ອມໂຍງແນວຄວາມຄິດຂອງການແຕກຕ່າງແລະການເຊື່ອມໂຍງເຊິ່ງກ່ອນຫນ້ານີ້ໄດ້ຮັບຮູ້ວ່າເປັນຫນ່ວຍງານເອກະລາດ. ໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວ, ຄະນິດສາດຂອງເວລາເຫຼົ່ານັ້ນໄດ້ຖືກແຍກອອກມາ, ສ່ວນປະກອບຂອງບົດສະຫຼຸບທີ່ມີຢູ່ດ້ວຍຕົວເອງ, ມີຂອບເຂດການນໍາໃຊ້ທີ່ຈໍາກັດ. ເສັ້ນທາງຂອງການລວບລວມແລະການຄົ້ນຫາພື້ນທີ່ທົ່ວໄປແມ່ນພຽງແຕ່ຖືກຕ້ອງໃນເວລານັ້ນ, ຍ້ອນການ ວິເຄາະທາງຄະນິດສາດ ທີ່ທັນສະໄຫມສາມາດຂະຫຍາຍຕົວແລະພັດທະນາ.

ມີການປ່ຽນແປງເວລາ, ທຸກສິ່ງທຸກຢ່າງມີການປ່ຽນແປງ, ແລະການກໍານົດຂອງການເຊື່ອມໂຍງເຊັ່ນດຽວກັນ. ໂດຍທົ່ວໄປ, ມັນໄດ້ຖືກສະແດງໂດຍນັກວິທະຍາສາດຜູ້ທີ່ເປັນຫຍັງຫຼາຍ, ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, Newton ໄດ້ນໍາໃຊ້ຮູບສີ່ຫຼ່ຽມມົນທີ່ເຂົາເອົາໃຈໃສ່ໃນການເຮັດວຽກທີ່ສົມບູນແບບຫຼືພຽງແຕ່ໃສ່ມັນຕໍ່ໄປ. ການໂຕ້ຖຽງນີ້ຍັງສືບຕໍ່ຈົນເຖິງສະຕະວັດທີ 17, ໃນເວລາທີ່ນັກວິທະຍາສາດສັນຍາລັກ Gottfried Leibniz ນໍາສະເຫນີສັນຍາລັກດັ່ງນັ້ນຄຸ້ນເຄີຍກັບພວກເຮົາສໍາລັບທິດສະດີທັງຫມົດຂອງການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດ. ການຍືດຍາວ "S" ແມ່ນອີງໃສ່ຕົວອັກສອນຂອງ ຫນັງສືລາແຕັງນີ້, ເນື່ອງຈາກວ່າມັນຫມາຍເຖິງຜົນລວມຂອງສັນຍາລັກ. ຊື່ໄດ້ຮັບການບູລະນາການໂດຍ Jacob Bernoulli ຫຼັງຈາກ 15 ປີ.

ຄໍານິຍາມແບບຟອມ

ການປະສົມປະສານບໍ່ຈໍາກັດແມ່ນຂຶ້ນກັບຄໍານິຍາມຂອງ antiderivative ໂດຍກົງ, ດັ່ງນັ້ນພິຈາລະນາກ່ອນທີ່ມັນຈະເປັນ.

ຕົວທໍາອິດແມ່ນຫນ້າທີ່ທີ່ກົງກັນຂ້າມກັບຕົວອະນຸພັນ, ໃນການປະຕິບັດມັນກໍ່ຖືກເອີ້ນວ່າ primitive. ຖ້າບໍ່ດັ່ງນັ້ນ: antiderivative ຂອງຫນ້າທີ່ d ແມ່ນຫນ້າທີ່ D ທີ່ derivative ແມ່ນ v <=> V '= v. ຄົ້ນຫາສໍາລັບ antiderivative ແມ່ນການຄິດໄລ່ຂອງ integral ບໍ່ຈໍາກັດ, ແລະຂະບວນການຕົວມັນເອງເອີ້ນວ່າການເຊື່ອມໂຍງ.

ຕົວຢ່າງ:

ຟັງຊັນ s (y) = y ³ ແລະ antiderivative S (y) = (y 4/4)

ການກໍານົດຂອງ antiderivatives ທັງຫມົດຂອງຟັງຊັນທີ່ຖືກພິຈາລະນາເປັນ integral ບໍ່ຈໍາກັດ, ມັນແມ່ນ denoted ດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້: v (x) dx.

ເນື່ອງຈາກວ່າ V (x) ເປັນຕົວທໍາອິດຂອງຫນ້າທໍາອິດ, ພວກເຮົາມີການສະແດງອອກ: x (x) dx = V (x) + C, ບ່ອນທີ່ C ແມ່ນຄົງທີ່. ຄົງທີ່ຄົງທີ່ແມ່ນຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ວ່າຄົງທີ່ໃດກໍ່ຕາມ, ເນື່ອງຈາກວ່າສັນຍາລັກຂອງມັນແມ່ນສູນ.

ຄຸນສົມບັດ

ຄຸນສົມບັດທີ່ສົມບູນແບບບໍ່ມີເງີນແມ່ນອີງໃສ່ຄວາມຫມາຍພື້ນຖານແລະຄຸນສົມບັດຂອງຕົວອະນຸພັນ.
ພິຈາລະນາຈຸດສໍາຄັນ:

• (x) dx = V (x) + C;
• derivative ຂອງ integral ຂອງຟັງຊັນແມ່ນຫນ້າທີ່ທໍາອິດ <=> (v (x) dx) '= v (x);
• ຄ່າຄົງທີ່ແມ່ນອອກຈາກສັນຍານຂອງ integral <=> kv (x) dx = k ± v (x) dx, ບ່ອນທີ່ k ແມ່ນ arbitrary;
• (v (y) + w (y)) dy = v (y) dy + w (y) dy

ຈາກທັງສອງຄຸນສົມບັດສຸດທ້າຍມັນສາມາດສະຫຼຸບວ່າການເຊື່ອມຕໍ່ບໍ່ຈໍາກັດແມ່ນເສັ້ນທາງ. ເນື່ອງຈາກວ່ານີ້, ພວກເຮົາມີ: ∫ (kv (y) dy + lw (y)) dy = kv (y) dy + lw (y) dy.

ສໍາລັບການແກ້ໄຂ, ພວກເຮົາພິຈາລະນາຕົວຢ່າງຂອງການແກ້ໄຂຂອງ integrals indefinite.

ມັນມີຄວາມຈໍາເປັນໃນການຊອກຫາ integral ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• (3sinx + 4cosx) dx = 3sinxdx + 4cosxdx = 3nxdx + 4xsxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx-3cosx + C

ຈາກຕົວຢ່າງທີ່ພວກເຮົາສາມາດສະຫຼຸບໄດ້: ບໍ່ຮູ້ວິທີແກ້ໄຂ integrals indefinite? ພຽງແຕ່ຊອກຫາທັງຫມົດ antitypical ໄດ້! ແລະນີ້ແມ່ນຫຼັກການຄົ້ນຫາຂ້າງລຸ່ມນີ້.

ວິທີການແລະຕົວຢ່າງ

ໃນຄໍາສັ່ງເພື່ອແກ້ໄຂ integral, ພວກເຮົາສາມາດ resort ກັບວິທີການດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

• ໃຊ້ຕາຕະລາງສໍາເລັດຮູບ;
• ປະສົມປະສານໂດຍພາກສ່ວນ;
• ປະສົມປະສານໂດຍການປ່ຽນແປງຕົວແປ;
• Summation ພາຍໃຕ້ສັນຍານຂອງຄວາມແຕກຕ່າງໄດ້.

ຕາຕະລາງ

ວິທີທີ່ງ່າຍທີ່ສຸດແລະສະດວກສະບາຍທີ່ສຸດ. ໃນປັດຈຸບັນ, ການວິເຄາະທາງຄະນິດສາດສາມາດເວົ້າເຖິງຕາລາງຢ່າງກວ້າງຂວາງ, ເຊິ່ງຄໍາສັ່ງພື້ນຖານຂອງຮວບຮວມຂໍ້ກໍານົດທີ່ບໍ່ມີກໍານົດແມ່ນຖືກກໍານົດໄວ້. ໃນຄໍາສັບຕ່າງໆອື່ນໆ, ມີແມ່ແບບ, ມາກ່ອນທ່ານແລະສໍາລັບທ່ານ, ມັນຍັງມີພຽງແຕ່ນໍາໃຊ້ມັນເທົ່ານັ້ນ. ນີ້ແມ່ນບັນຊີລາຍຊື່ຂອງຕໍາແຫນ່ງຕາຕະລາງຕົ້ນຕໍທີ່ເກືອບທຸກໆຕົວຢ່າງທີ່ມີການແກ້ໄຂສາມາດໄດ້ຮັບ:

• 0dy = C, ບ່ອນທີ່ C ແມ່ນຄົງທີ່;
• d = y + C, ບ່ອນທີ່ C ແມ່ນຄົງທີ່;
• y ^{n + 1} ) / (n + 1) + C, ບ່ອນທີ່ C ເປັນຄ່າຄົງທີ່, ແລະ n ເປັນຫມາຍເລກ nonzero;
• (1 / y) dy = ln | y | + C, ບ່ອນທີ່ C ແມ່ນຄົງທີ່;
• e ^y dy = e ^y + C, where C is constant
• k ^y dy = (k ^y / ln k) + C, where C is a constant
• cosydy = siny + C, ບ່ອນທີ່ C ເປັນຄົງທີ່;
• sinydy = -cosy + C, where C is constant
• dy / cos ² y = tgy + C, ບ່ອນທີ່ C ແມ່ນຄົງທີ່;
• d / sin ² y = -ctgy + C, where C is constant
• d / (1 + y ² ) = arctgy + C, where C is constant;
• chydy = shy + C, ບ່ອນທີ່ C ແມ່ນຄົງທີ່;
• shydy = chy + C, where C is constant.

ຖ້າມີຄວາມຈໍາເປັນ, ເອົາສອງຂັ້ນຕອນ, ນໍາເອົາການເຊື່ອມໂຍງກັບຕາຕະລາງແລະເພີດເພີນກັບຄວາມເຊື່ອ. ຕົວຢ່າງ: cos (5x -2) dx = 1 / 5cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2) + C.

ໂດຍການຕັດສິນໃຈທີ່ຈະແຈ້ງວ່າສໍາລັບຕົວຢ່າງໃນຕາຕະລາງ, integrand ບໍ່ມີຕົວຄູນຂອງ 5. ພວກເຮົາຕື່ມມັນ, ຄູນ 1/5 ໃນຂະຫນານ, ດັ່ງນັ້ນການສະແດງທົ່ວໄປບໍ່ປ່ຽນແປງ.

ການເຊື່ອມໂຍງໂດຍພາກສ່ວນ

ພິຈາລະນາສອງຫນ້າທີ່ - z (y) ແລະ x (y). ພວກເຂົາຕ້ອງມີຄວາມແຕກຕ່າງຢ່າງຕໍ່ເນື່ອງກ່ຽວກັບໂດເມນທັງຫມົດຂອງຄໍານິຍາມ. ໂດຍຫນຶ່ງຂອງຄຸນສົມບັດທີ່ແຕກຕ່າງກັນພວກເຮົາມີ: d (xz) = xdz + zdx. ການລວມທັງສອງດ້ານຂອງຄວາມສະເຫມີພາບ, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ: d (xz) = (xdz + zdx) => zx = zdx + xdz.

ການຂຽນຜົນໄດ້ຮັບສົມຜົນ, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບສູດທີ່ອະທິບາຍວິທີການປະສົມປະສານໂດຍພາກສ່ວນ: zdx = zx - xdz.

ມັນຈໍາເປັນຕ້ອງເປັນຫຍັງ? ຄວາມຈິງແມ່ນວ່າບາງຕົວຢ່າງມີໂອກາດທີ່ຈະງ່າຍ, ໂດຍສະເພາະເວົ້າ, ຫຼຸດຜ່ອນ zdx ກັບ xdz, ຖ້າວ່າມັນຢູ່ໃກ້ກັບຮູບແບບຕາຕະລາງ. ນອກຈາກນີ້, ສູດນີ້ສາມາດຖືກນໍາໃຊ້ຫຼາຍກວ່າຫນຶ່ງຄັ້ງ, ການບັນລຸຜົນໄດ້ຮັບທີ່ດີທີ່ສຸດ.

ວິທີການແກ້ແກ້ integral indefinite ໃນວິທີນີ້:

• ມັນຈໍາເປັນຕ້ອງຄິດໄລ່∫ (s + 1) e ^2s ds

(x + 1) e ^2s ds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e ^2s , dy = e ^2x ds} = ((s + 1) e ^2s ) / 2-1 / 2 e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s ) / 2-e ^2s / 4 + C

• ທ່ານຈໍາເປັນຕ້ອງຄິດໄລ່ønsds

lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns -s x ds / s = slns -ds = slns -s + C = s (lns-1) + C

ປ່ຽນແປງຕົວແປ

ຫຼັກການຂອງການແກ້ໄຂການເຊື່ອມຕໍ່ບໍ່ຈໍາກັດນີ້ແມ່ນບໍ່ມີຄວາມຕ້ອງການຫນ້ອຍກວ່າສອງກ່ອນ, ເຖິງແມ່ນວ່າມັນມີຄວາມສັບສົນຫຼາຍ. ວິທີການປະກອບດ້ວຍດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້: ໃຫ້ V (x) ເປັນ integral ຂອງບາງ v (x) ການເຮັດວຽກ. ໃນກໍລະນີທີ່ການເຊື່ອມໂຍງຕົວມັນເອງຢູ່ໃນຕົວຢ່າງແມ່ນສັບສົນ, ມີໂອກາດທີ່ດີທີ່ຈະໄດ້ຮັບຄວາມສັບສົນແລະໄປທາງທີ່ຜິດ. ເພື່ອຫຼີກເວັ້ນການນີ້, ການປ່ຽນແປງຈາກຕົວປ່ຽນ x ເຖິງ z ແມ່ນຖືກປະຕິບັດ, ໃນນັ້ນການສະແດງທົ່ວໄປແມ່ນງ່າຍດາຍທີ່ເບິ່ງເຫັນໃນເວລາທີ່ຄວາມເພິ່ງພໍໃຈຂອງ z ໃນ x ຖືກຮັກສາໄວ້.

ໃນພາສາຄະນິດສາດ, ເບິ່ງຄືວ່າ: v (x) dx = v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y ^-1 (x)), where x = y ( Z) ແມ່ນການປ່ຽນແປງ. ແລະ, ແນ່ນອນ, ການປະຕິບັດຫນ້າ inverse z = y ^-1 (x) ອະທິບາຍຢ່າງເຕັມສ່ວນກ່ຽວກັບຄວາມຂັດແຍ້ງແລະການພົວພັນຂອງຕົວແປ. ການສັງເກດທີ່ສໍາຄັນແມ່ນວ່າຄວາມແຕກຕ່າງ dx ແມ່ນຈໍາເປັນຕ້ອງຖືກແທນທີ່ດ້ວຍຄວາມແຕກຕ່າງໃຫມ່ dz ເນື່ອງຈາກການປ່ຽນແທນຂອງຕົວແປທີ່ບໍ່ມີກໍານົດໂດຍບໍ່ຈໍາກັດຫມາຍເຖິງການປ່ຽນແທນມັນຢູ່ທົ່ວທຸກບ່ອນແລະບໍ່ພຽງແຕ່ໃນການເຊື່ອມໂຍງ.

ຕົວຢ່າງ:

• ມັນຈໍາເປັນຕ້ອງຊອກຫາ∫ (s + 1) / (s ² + 2s -5) ds

ພວກເຮົານໍາໃຊ້ການທົດແທນ z = (s + 1) / (s ² + 2s -5). dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2 ດັ່ງນັ້ນ, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບການສະແດງອອກດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້, ເຊິ່ງງ່າຍຫຼາຍທີ່ຈະຄິດໄລ່:

z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s -5 | + C;

• ມັນເປັນສິ່ງຈໍາເປັນທີ່ຈະຊອກຫາ integral ∫2 ^s e ^s dx

ສໍາລັບການແກ້ໄຂ, ພວກເຮົາຂຽນສະແດງອອກໃນແບບຟອມດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

2 ^s e ^s ds = (2e) ^s ds

ພວກເຮົາຫມາຍເຖິງ a = 2e (ໂດຍການປ່ຽນແທນການໂຕ້ຖຽງນີ້ຂັ້ນຕອນນີ້ບໍ່ແມ່ນ, ມັນຍັງຄົງແມ່ນ), ພວກເຮົາໃຫ້ເບິ່ງ, ໃນລັກສະນະທໍາອິດ, ຮູບແບບປະຖົມ:

(2e) ^s ds = a ^s ds = a ^s / lna + C = (2e) ^s / ln (2e) + C = 2 ^s e / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (Ln2 + 1) + C

ແຕ້ມພາຍໃຕ້ສັນຍານຂອງຄວາມແຕກຕ່າງໄດ້

ໂດຍທົ່ວໄປ, ວິທີການ integral indefinite ນີ້ແມ່ນອ້າຍຄູ່ຂອງຫຼັກການທົດແທນການປ່ຽນແປງ, ແຕ່ມີຄວາມແຕກຕ່າງໃນຂະບວນການອອກແບບ. ໃຫ້ພິຈາລະນາຫຼາຍໃນລາຍລະອຽດ.

ຖ້າ x (x) dx = V (x) + C ແລະ y = z (x) ແລ້ວ v (y) dy = V (y) + C

ໃນເວລາດຽວກັນ, ຫນຶ່ງບໍ່ຄວນລືມການປ່ຽນແປງທີ່ບໍ່ສົມບູນແບບ, ໃນນັ້ນ:

• Dx = d (x + a), where a is constant
• Dx = (1 / a) d (ax + b), ບ່ອນທີ່ເປັນອີກເທື່ອຫນຶ່ງຄົງ, ແຕ່ບໍ່ເທົ່າກັບສູນ;
• Xdx = 1 / 2d (x2 + b)
• Sinxdx = -d (cosx)
• Cosxdx = d (sinx)

ຖ້າພວກເຮົາພິຈາລະນາກໍລະນີທົ່ວໄປໃນເວລາທີ່ພວກເຮົາກໍານົດການປະສົມປະສານບໍ່ຈໍາກັດ, ຕົວຢ່າງສາມາດຫຼຸດລົງໄປໃນສູດທົ່ວໄປ w '(x) dx = dw (x).

ຕົວຢ່າງ:

• ມັນຈໍາເປັນຕ້ອງຊອກຫາ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

(2s + 3) 2s / 3 + C = (1/6) ² (2s + 3) 2d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ² ) / 3 + C = (1/6) X (2s + 3) ² + C

tgsds = sins / cossds = d (coss) / coss = -ln | coss | + C

ການຊ່ວຍເຫຼືອອອນໄລນ໌

ໃນບາງກໍລະນີ, ຄວາມຮູ້ສຶກຜິດທີ່ສາມາດເປັນຄວາມລ້າສະໄຫມຫຼືຄວາມຕ້ອງການອັນຮີບດ່ວນ, ທ່ານສາມາດນໍາໃຊ້ຄໍາແນະນໍາທາງອິນເຕີເນັດ, ຫຼືແທນທີ່ຈະໃຊ້ເຄື່ອງຄິດເລກຂອງນິຍາມທີ່ບໍ່ແນ່ນອນ. ເຖິງວ່າຈະມີຄວາມສັບສົນແລະສັບສົນທີ່ສົມບູນແບບຂອງການເຊື່ອມໂຍງ, ການແກ້ໄຂຂອງພວກເຂົາແມ່ນຂຶ້ນກັບວິທີການທີ່ແນ່ນອນ, ເຊິ່ງກໍ່ສ້າງຢູ່ໃນຫຼັກການ "ຖ້າບໍ່ ... , ຫຼັງຈາກນັ້ນ ... ".

ແນ່ນອນ, ຕົວຢ່າງທີ່ສັບສົນໂດຍສະເພາະແມ່ນເຄື່ອງຄິດເລກບໍ່ສາມາດໄດ້ຮັບການເຂົ້າໃຈ, ເນື່ອງຈາກມີກໍລະນີທີ່ແກ້ໄຂແກ້ໄຂໂດຍບັງເອີນ, "ໂດຍບັງຄັບໃຊ້" ນໍາສະເຫນີອົງປະກອບບາງຢ່າງໃນຂະບວນການ, ເພາະວ່າວິທີການທີ່ຊັດເຈນຂອງຜົນໄດ້ຮັບບໍ່ສາມາດບັນລຸໄດ້. ເຖິງວ່າຈະມີການໂຕ້ຖຽງຂອງຄໍາເວົ້ານີ້, ມັນເປັນຄວາມຈິງ, ເພາະວ່າຄະນິດສາດ, ໃນຫຼັກການ, ແມ່ນວິທະຍາສາດບໍ່ມີຕົວຕົນ, ແລະພິຈາລະນາວຽກງານຕົ້ນຕໍຂອງຕົນເພື່ອຂະຫຍາຍຂອບເຂດຂອງຄວາມເປັນໄປໄດ້. ແນ່ນອນວ່າມັນຍາກທີ່ສຸດທີ່ຈະເລີນເຕີບໂຕແລະພັດທະນາໃນທິດສະດີທີ່ລ້າສະໄຫມ, ດັ່ງນັ້ນຢ່າສົມມຸດວ່າຕົວຢ່າງຂອງການແກ້ໄຂປະສົມປະສານບໍ່ຈໍາກັດທີ່ພວກເຮົາໄດ້ໃຫ້ແມ່ນຈຸດສູງສຸດຂອງຄວາມເປັນໄປໄດ້. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ໃຫ້ພວກເຮົາກັບຄືນໄປດ້ານເຕັກນິກຂອງເລື່ອງ. ຢ່າງຫນ້ອຍເພື່ອກວດສອບການຄິດໄລ່ທີ່ທ່ານສາມາດນໍາໃຊ້ບໍລິການທີ່ທຸກສິ່ງທຸກຢ່າງຖືກຂຽນໄວ້ກ່ອນພວກເຮົາ. ຖ້າມີຄວາມຈໍາເປັນສໍາລັບການຄິດໄລ່ແບບອັດຕະໂນມັດຂອງການສະແດງອອກແບບສະລັບສັບຊ້ອນ, ພວກເຂົາບໍ່ສາມາດແຈກຢາຍໄດ້, ທ່ານຈະຕ້ອງໃຊ້ຊອບແວທີ່ຮ້າຍແຮງກວ່າເກົ່າ. ມັນເປັນສິ່ງສໍາຄັນທີ່ຈະຈ່າຍເອົາໃຈໃສ່ທໍາອິດໃຫ້ກັບສະພາບແວດລ້ອມ MatLab.

Application

ການແກ້ໄຂຂອງ integrals indefinite ຢູ່ glance ເບິ່ງຄືວ່າ divorced ຫມົດຈາກຄວາມເປັນຈິງແລ້ວ, ເນື່ອງຈາກວ່າມັນເປັນການຍາກທີ່ຈະເບິ່ງແຜນການຄໍາຮ້ອງສະຫມັກທີ່ຈະແຈ້ງ. ແທ້ຈິງແລ້ວ, ພວກເຂົາບໍ່ສາມາດນໍາໃຊ້ໂດຍກົງໄດ້ທຸກບ່ອນ, ແຕ່ວ່າພວກມັນຖືກຖືວ່າເປັນອົງປະກອບກາງທີ່ບໍ່ຈໍາເປັນໃນຂະບວນການຕັດສິນໃຈທີ່ນໍາໃຊ້ໃນການປະຕິບັດ. ດັ່ງນັ້ນ, ການເຊື່ອມໂຍງແມ່ນແຕກຕ່າງກັນໂດຍກົງ, ຍ້ອນວ່າມັນເຂົ້າຮ່ວມຢ່າງຈິງຈັງໃນຂະບວນການແກ້ໄຂສົມຜົນ.
ໃນເວລາດຽວກັນ, ສົມຜົນເຫຼົ່ານີ້ມີຜົນກະທົບໂດຍກົງຕໍ່ການແກ້ໄຂບັນຫາກົນຈັກ, ການຄິດໄລ່ຂອງທາງທິດສະດີແລະການນໍາໃຊ້ຄວາມຮ້ອນ - ໃນສັ້ນ, ທຸກສິ່ງທີ່ເຮັດໃຫ້ປະຈຸບັນແລະຮູບຮ່າງຂອງອະນາຄົດ. ການເຊື່ອມໂຍງທີ່ບໍ່ຈໍາກັດ, ຕົວຢ່າງທີ່ພວກເຮົາໄດ້ພິຈາລະນາຂ້າງເທິງນັ້ນ, ແມ່ນບໍ່ສໍາຄັນເທົ່າທຽມກັນ, ຍ້ອນວ່າມັນເປັນພື້ນຖານສໍາລັບການຄົ້ນພົບໃຫມ່ຫຼາຍ.